Järjestetyistä algebrallisista rakenteista

On monia tärkeitä algebrallisia rakenteita, joissa on määritelty sekä laskutoimituksia että näihin jossain määrin kytkeytyvä järjestysrelaatio. Erityisesti näin on lukujoukkojen {{\mathbb N},{\mathbb Z},{\mathbb Q}} ja {{\mathbb R}} tapauksessa. Tarkastellaan tällaisia rakenteita tässä lyhyehkössä postissa. Lähinnä tarkoituksena on esittää keskeiset määritelmät pikemminkin kuin todistaa mitään syvällisempiä tuloksia.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Abstrakti algebra, Matematiikka

Polynomeista

Polynomit ovat keskeinen työkalu renkaiden tutkimuksessa ja tietysti tärkeitä monessa muussakin yhteydessä. Polynomit ovat lausekkeita, jotka koostuvat äärellisestä määrästä peruslaskutoimituksia (yhteen- ja kertolasku) äärellisen moneen renkaan alkioon sovellettuna. Tämän helpon reseptin vuoksi polynomeilla ja edelleen niiden määräämillä funktioilla operointi on verrattain yksinkertaista, mikä tekee niistä hyödyllisiä niin teoreettisissa tarkasteluissa kuin laskennallisina työkaluinakin.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Abstrakti algebra, kommutatiivinen algebra, Matematiikka

Eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat

Aiemmin on määritelty äärettömät perheet logaritmi- {\log_a} ja eksponenttifunktioita {\exp_a}: yksi jokaista kantalukua {a\in {{\mathbb R}_+ - \{1\}}} kohti. Eksponenttifunktioille pätee kantaluvun vaihtokaava

\displaystyle \exp_b x = \exp_a(\log_a b^x) = \exp_a( x \log_a b)

ja logaritmeille vastaavasti

\displaystyle \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}.

Tarkastelemalla kyseisiä kaavoja havaitaan, että mikäli osataan laskea logaritmeja ja eksponenttifunktion arvoja kannassa {a}, niin sama onnistuu missä tahansa toisessa kannassa {b}. Nyt saattaa herätä kysymys, miten {a} olisi parasta valita. Toisin sanoen, onko olemassa kantalukua, joka on jollakin tavalla kaikkia muita parempi? Koska reaaliluvuille käytetään yleisesti desimaaliesitystä, kantaluvun {a=10} käyttäminen vaikuttaa houkuttelevalta. Tämä onkin joissakin tilanteissa kätevä valinta, mutta silti luvun {10} suosimisessa on lähinnä kyse kulttuurisesta konventiosta. Yleisemmin lukujärjestelmän kantaluvuksi käy yhtä hyvin mikä tahansa ykköstä suurempi kokonaisluku. Esimerkiksi binääriluvut ovat tietotekniikan kehityksen myötä nousseet tärkeään asemaan ja teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä onkin monesti luontevaa käyttää kaksikantaista logaritmia. Onko olemassa matematiikasta itsestään nousevia syitä suosia jotain tiettyä kantalukua? Itse asiassa tällaisia syitä löytyy. Erityisesti differentiaali- ja integraalilaskennasta kumpuavat syyt ehdottavat logaritmijärjestelmän ideaaliseksi kantaluvuksi Neperin lukua {\mathrm{e}} — mystistä irrationaalista vakiota, jonka arvo on lukujen {2} ja {3} välillä.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Matematiikka, Reaalianalyysi

Käänteisfunktion derivointi

Tyypillisellä differentiaalilaskennan alkeiskurssilla heti derivaatan määrittelyn jälkeen todistetaan joukko derivointisääntöjä, joiden avulla alkeisfunktioiden derivointi sujuu enemmän tai vähemmän mekaanisesti. Näiden laskulakien todistaminen on myös pääosin aika mekaaninen harjoitus, eikä kyseisiä todistuksia käsitellä tässä laajemmin. Käänteisfunktion derivointi on kenties vaikein todistettava yleisistä derivointisäännöistä, joten katsotaan sitä lyhyesti.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Matematiikka, Reaalianalyysi

Differentiaalilaskennan väliarvolauseet

Väliarvolauseilla on keskeinen asema differentiaalilaskennan teoriassa.

Lagrangen väliarvolause

Jos derivoituva funktio saavuttaa (lokaalin) maksimin tai minimin jossakin pisteessä, niin funktion derivaatta kyseisessä pisteessä on nolla. Tämä lienee selvää ajatellaanpa derivaattaa intuitiivisesti sitten muutosnopeuden mittana tai parhaana lineaarisena aproksimaationa. Esitetään kuitenkin myös formaali perustelu — olisihan differentiaalilaskennan teoria puutteellinen, mikäli tällaisen yksinkertaisen perustuloksen tarkka todistaminen ei onnistuisi.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Matematiikka, Reaalianalyysi

Kokonaisalueen karakteristika

Alunperin edeltävään kokonaisalueen osamääräkuntaa käsittelevään artikkeliin piti sisältyä myös yleisempää kokonaisalueiden ominaisuuksien tarkastelua. Tekstin valmistuessa tulin kuitenkin siihen tulokseen, että kyseinen teoria on parempi esittää erikseen. Tuloksena on tämä lyhyehkö posti, jossa on määritelty tärkeä rengasteorian invariantti karakteristika ja todistettu joitakin siihen liittyviä tuloksia.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Abstrakti algebra, kommutatiivinen algebra, Matematiikka

Kokonaisalueen osamääräkunta ja muita vastaavia konstruktioita

Algebrallisessa rakenteessa operoiminen on sitä helpompaa ja sitä vahvempia tuloksia on mahdollista saavuttaa mitä enemmän oletetaan. Tässä mielessä ryhmiä voidaan pitää pitää parempina kuin monoideja, renkaita parempina kuin puolirenkaita ja jakorenkaita parempina kuin renkaita. Onkin luontevaa tarkastella seuraavia kysymyksiä.

  • Voidaanko jokainen monoidi {M} laajentaa ryhmäksi? Toisin sanoen, onko olemassa ryhmää {G}, jonka alimonoidi {M} on?
  • Voidaanko jokainen puolirengas laajentaa renkaaksi?
  • Voidaanko jokainen rengas laajentaa jakorenkaaksi?

Postissa määritellään uutena renkaiden alaluokkana kokonaisalue. Lisäksi tarkasteltavat konstruktiot soveltuvat kokonais- ja rationaalilukujen täsmälliseen määrittelyyn luonnollisten lukujen pohjalta.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Abstrakti algebra, kommutatiivinen algebra, Matematiikka

Rengasteorian perustyökaluja

Jatketaan renkaiden tarkastelua. Tässä postissa on listattu joitakin sellaisia perusmääritelmiä ja tuloksia, jotka ovat analogisia vastaavien ryhmäteorian käsitteiden ja tulosten kanssa. Tämä mahdollistaa nopean etenemisen enimmäkseen ilman todistuksia. Lukijan oletetaan olevan siinä määrin hyvin perehtynyt ryhmäteorian alkeisiin, että osaa täydentää todistukset. Kaikki tulokset on alla muotoiltu pelkästään renkaille. Lukija voi halutessaan itsenäisesti tutkia yleistystä puolirenkaisiin.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Abstrakti algebra, Matematiikka

Renkaista

Ryhmät ja monoidit ovat algebrallisia rakenteita, joissa on määritelty yksi laskutoimitus. Nyt käsiteltävät renkaat ovat kahdella laskutoimituksella varustettuja rakenteita. Rengas sisältää sekä monoidin että ryhmän, joten aiemmista tuloksista on paljon hyötyä niiden opiskelussa. Lisäksi määritellään yleisempi puolirenkaan käsite. Puolirenkaiden teoria on vähemmän tunnettua kuin renkaiden. Meidänkin päätavoite on renkaiden ymmärtäminen, mutta ainakin puolirenkaan määritelmä on hyvä tuntea ja se on luontevaa esitellä tässä yhteydessä.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Abstrakti algebra, Matematiikka

Äärellisulotteisen vektoriavaruuden duaali

Nykyään eräs yliopisto-opiskelijan ensimmäisistä matematiikan kursseista käsittelee tyypillisesti lineaarista algebrallista geometriaa tai ytimekkäämmin lineaarialgebraa. Tässä blogissa ei ainakaan tällä erää ole tarkoitus keskustella laajemmin lineaarialgebran alkeista. Lukijan oletetaan tuntevan peruskäsitteet kuten (abstraktit) vektoriavaruudet ja niiden kannat sekä lineaarikuvaukset ja niiden matriisit. Joitakin teorian piirteitä voisi silti olla kiinnostavaa käsitellä blogipostin muodossa. Eräs tällainen on duaaliavaruus, joka on keskeinen käsite modernissa matematiikassa, mutta ei aina kuulu lineaarialgebran ensimmäisten kurssien materiaaliin.

Lue loppuun

Jätä kommentti

Kategoria(t): Lineaarialgebra, Matematiikka