Luonnolliset luvut ja Peanon aksioomat

Luonnollisilla luvuilla

\displaystyle {\mathbb N} = \{0,1,2,3, \ldots \}

tarkoitetaan lukumäärää kuvaavia lukuja. Se, katsotaanko nolla luonnolliseksi luvuksi vai ei, vaihtelee lähteestä riippuen. Tässä tekstissä nolla kuitenkin on luonnollinen luku: kuvaahan se tyhjän joukon alkioiden lukumäärää! Luonnolliset luvut ja niiden laskutoimitukset ovat tietysti ensimmäisiä asioita, mitä alakoulun matematiikassa opiskellaan — vaikkei niitä silloin ehkä tällä nimellä kutsutakaan. Tässä artikkelissa kerrataan aluksi luonnollisten lukujen perusominaisuudet ilman sen kummempia perusteluja. Tämän jälkeen esitetään Peanon aksioomat, jotka tietyssä mielessä karakterisoivat luonnolliset luvut ja tarjoavat täten erään mahdollisuuden asettaa teoria loogisesti tukevammalle pohjalle.

Tämä on myös ensimmäinen blogiposti, jonka tekemiseen olen käyttänyt Luca Trevisanin LaTeX2WP-ohjelmaa. Jos pitää paljon matemaattista tai muuta teknisluontoista tekstiä sisältävää WordPress-blogia, kannattaa ehdottomasti tutustua kyseiseen ohjelmaan. Se nopeuttaa kirjoitusprosessia huomattavasti.

Laskulait

Jos {m} on joukon {A} ja {n} joukon {B} alkioiden lukumäärä ja lisäksi {A\cap B=\emptyset}, niin luonnollisten lukujen summa {m+n} kuvaa unionin {A\cup B} alkioiden lukumäärää. Koulussa luonnollisten lukujen tulo määritellään yleensä asettamalla

\displaystyle m\cdot n = \underset{m \text{ kappaletta}}{\underbrace{n+n+\cdots + n}}.

Vaihtoehtoisesti määritelmä voitaisiin perustaa esimerkiksi karteesiseen tuloon: jos joukossa {A} on {m} ja joukossa {B} {n} alkiota, niin joukossa {A\times B} on {mn=m\cdot n} alkiota. Ilmeisesti luonnollisten lukujen laskutoimitukset toteuttavat kaikilla {k,m,n\in {\mathbb N}} seuraavat laskulait:

  • {k+(m+n) = (k+m)+n} ja {k(mn)=(km)n} (assosiatiivisuus),
  • {m+0 = m} ja {m\cdot 1 = m} (neutraalialkioiden olemassaolo),
  • {m+n = n+m} ja {mn=nm} (kommutatiivisuus),
  • jos {k+m=k+n}, niin {m=n},ja jos {km=kn}, niin {k=0} tai {m=n} (supistaminen).

Kommutatiivisuuden nojalla myös esimerkiksi {0+m=m+0 = m} samoin kuin {1\cdot m=m}. Vastaavasti ehdosta {k+n=m+n} seuraa kommutatiivisuuden nojalla {n+k=n+m} eli supistuslakia soveltamalla {k=m}. Täten yhteenlaskun supistamislaki pätee myös toisinpäin ja luonnollisesti vastaava johtopäätös voidaan tehdä myös kertolaskulle.

Tuloa ja yhteenlaskua sitoo lisäksi yhteen distribuutio- eli osittelulaki:

  • {k(m+n)=km+kn} kaikilla {k,m,n\in{\mathbb N}}.

Edelleen {(k+m)n=n(k+m)=nk+nm=kn+mn}, missä ensimmäiseen ja kolmanteen yhtäsuuruuteen on käytetty tulon kommutatiivisuutta ja toinen seuraa distribuutiolaista. Näin ollen saadaan myös toinen distribuutiolaki {(k+m)n=kn+mn}.

Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä järjestysrelaatio esimerkiksi asettamalla {m\leq n} jos ja vain jos on olemassa sellainen {x\in {\mathbb N}}, että {n=x+m}. Vaihtoehtoisesti, jos joukossa {A} on {m} ja joukossa {B} {n} alkiota, niin {m\leq n} jos ja vain jos on olemassa injektiivinen funktio {A\rightarrow B}. Jako- ja vähennyslasku eivät varsinaisesti ole luonnollisille luvuille ominaisia laskutoimituksia esimerkiksi siksi että kahden luonnollisen luvun erotus tai osamäärä ei useinkaan ole luonnollinen luku.

Peanon aksioomat

Luonnollisia lukuja koskevat tulokset voidaan todistaa Peanon aksioomista lähtien.

Määritelmä 1 Peanon aksioomien mallilla tarkoitetaan kolmikkoa {(N,0_N,s)}, missä joukko {N}, alkio {0_N\in N} ja niin kutsuttu seuraajafunktio {s:N\rightarrow N} toteuttavat Peanon aksioomat

  1. {s(n)\not= 0_N} kaikilla {n\in N},
  2. {s} on injektio,
  3. jos {S\subset N} on sellainen osajoukko, että (i) {0_N\in S} ja (ii) {s(n)\in S} aina, kun {n\in S}, niin {S=N}.

Jatkossa alkion {n} seuraajaa merkitään yleensä {n^+:= s(n)}. Numeraalit nollasta yhdeksään voidaan määritellä asettamalla {0=0_N}, {1=0^+}, {2=1^+}, {\ldots}, {9=8^+}. Intuitiivisesti aksioomien 1 ja 2 tarkoitus on taata, että {N} sisältää luonnollisten lukujen kaltaisen joukon {\{0, 1=0^+, 2=1^+, \ldots\}}. Aksioomat 1 ja 2 eivät kuitenkaan takaa, ettei joukossa {N} voisi olla näiden lisäksi muitakin alkioita — tämän varmistamiseksi tarvitaan induktioaksioomaa 3.

Esimerkki 1 {({\mathbb Z},0,s)}, missä funktio {s:{\mathbb Z}\rightarrow{\mathbb Z}} määritellään asettamalla

\displaystyle s(n) = \begin{cases} n+1, &n\in {\mathbb N}, \\ n, &n\not\in {\mathbb N}, \end{cases}

toteuttaa Peanon aksioomat 1 ja 2 muttei induktioaksioomaa 3 (kuten nähdään valitsemalla {S={\mathbb N}\subsetneqq {\mathbb Z}}).

Luonnolliset luvut {{\mathbb N}} toteuttavat Peanon aksioomat, kun valitaan {0_{{\mathbb N}}=0} ja seuraajafunktioksi {n^+=n+1}. Luonnollisten lukujen lisäksi Peanon aksioomilla on kuitenkin ääretön määrä muitakin malleja.

Esimerkki 2 Olkoon

\displaystyle N = \{ 2^n \,|\, n\in {\mathbb N}\} = \{1,2,4,8, \ldots\},

ja {s(2^n)=2^{n+1}}. Tällöin {(N, 1, s)} muodostaa mallin Peanon aksioomille. Huomataan, että {n\overset{f}{\mapsto} 2^n} määrittelee bijektion {f:{\mathbb N}\rightarrow N} ja {s(f(n))= f(n+1)} kaikilla {n\in {\mathbb N}}.

Yleisemmin, jos {f:{\mathbb N}\rightarrow N} on mikä tahansa bijektio, niin Peanon aksioomille saadaan malli {(N,0_N,s)} valitsemalla {0_N=f(0)} ja {s(f(n))=f(n+1)} kaikilla {n\in{\mathbb N}} (koska {f} on bijektio, jokainen joukon {N} alkio on muotoa {f(n)} yksikäsitteisellä {n\in N}).

Itse asiassa voidaan osoittaa (tämä on suunnitteilla olevan seuraavan postin aiheena), että jokainen Peanon aksioomien malli saadaan luonnollisista luvuista edeltävässä esimerkissä kuvatulla tavalla eli ne ovat isomorfisia. Mallien {(N,0,s)} ja {(N',0',s')} isomorfisuudella tarkoitetaan sitä, että on olemassa bijektio {f:N\rightarrow N'}, jolle {f(0)=0'} ja {f(s(n))=s'(f(n))} kaikilla {n\in N}. Täsmällisemmin ilmaistuna, jos Peanon aksioomilla on olemassa ainakin yksi malli, niin kaikki mallit ovat keskenään isomorfisia. Tämä ei kuitenkaan vielä takaa sitä, että yhtään mallia olisi olemassa! Peanon aksioomille on mahdollista konstruoida malli joukko-opin pohjalta, mutta kyseistä konstruktiota ei ole tarkoitus käsitellä tässä tekstissä. Sen sijaan otetaan puhtaan aksiomaattinen lähestymistapa ja postuloidaan, että aksioomeilla 1-3 on olemassa eräs malli {{\mathbb N}} ja kutsutaan valittua mallia luonnollisiksi luvuiksi. Tätä postulaattia voidaan pitää neljäntenä Peanon aksioomana.

Huomautus 1 Tarkkaavainen lukija on saattanut havaita, että edellä puhutaan lähinnä Peanon aksioomien malleista pikemminkin kuin itse aksioomeista. Käytetty lähestymistapa olettaa tunnetuksi joitakin joukko-opin käsitteitä kuten osajoukko, relaatio sekä funktio. Jos aksioomia haluttaisiin lähestyä tiukan formaalisti viittaamatta joukko-oppiin, niin meidän lähestymistapa vastaisi esitystä toisen kertaluvun teoriana. Peanon aksioomilla viitataan usein myös heikompaan ensimmäisen kertaluvun formulointiin, jonka kaikki mallit eivät ole isomorfisia (englanninkielinen wikipedia aiheesta).

Induktioperiaate

Induktioaksiooma muodostaa matemaattisten induktiotodistusten loogisen oikeutuksen. Seuraavassa lauseessa induktioperiaate on muotoiltu luonnollisille luvuille, mutta se on voimassa missä tahansa Peanon aksioomien mallissa.

Lause 2 (Induktioperiaate) Olkoot jokaista luonnollista lukua {n} kohti annettu väite {P_n}. Jos (i) {P_0} on tosi ja (ii) {P_{k+1}} on tosi aina, kun {P_k} on tosi, niin {P_n} on tosi kaikilla {n\in{\mathbb N}}.

Todistus: Olkoon {S= \{n\in{\mathbb N}\, | \, P_n \text{ on tosi } \}}. Lauseen oletusten ja induktioaksiooman nojalla {S={\mathbb N}}, mistä väite seuraa. \Box

Edellä kohtaa (i) kutsutaan alkuaskeleeksi ja kohtaa (ii) induktioaskeleeksi. Yleensä induktiotodistuksessa alkuaskel on varsin helppo osoittaa ja suurin työ tehdään induktioaskeleen osoittamisessa. Induktioaskeleen osoittamisessa tehtävää oletusta ”{P_k} on tosi” on tapana kutsua induktio-oletukseksi ja todistettavaa väitettä ”{P_{k+1}} on tosi” induktioväitteeksi.

Jätä kommentti

Kategoria(t): Matematiikka, Perusteet

Vastaa

Täytä tietosi alle tai klikkaa kuvaketta kirjautuaksesi sisään:

WordPress.com-logo

Olet kommentoimassa WordPress.com -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Google photo

Olet kommentoimassa Google -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Twitter-kuva

Olet kommentoimassa Twitter -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Facebook-kuva

Olet kommentoimassa Facebook -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Muodostetaan yhteyttä palveluun %s